1. 集合论，证明集合不属于该集合本身中有S？
你是要举一个自身是自身元素的例子吗？ 设S=｛M | M为包含无穷个元素的集合｝，这样整数、有理数，实数这些集合显然都是无穷个元素，因此它们都属于S。
而S自身也是无穷个元素，因此有S∈S。不过在公理化集合论中是不可以举这样的例子的，这种例子会使集合论出现矛盾。
2. 康托尔集合论的故事？
1870年，康托尔开始研究“三角级数”，并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——“集合论”的建立。

康尔托受“魏尔斯特拉斯”的直接影响，对“严格的分析”理论进行了深入地研究，不久便获得了一系列重大的成果。
他首次证明了“复合变量函数三角级数展开的唯一性”，继而用“有理数列极限”定义无理数。
三角级数也常称为“傅里叶级数”，康托尔在寻找“函数”展开为“三角级数”表示的“唯一性判别准则”的研究中，认识到了“无穷集合”的重要性，并开始进行深入的研究，证明它即使在“有限个间断点”处“不收敛”，定理仍然成立。
1872年，康托尔把“唯一性”的结果推广到允许“例外值”是某种“无穷的集合”情形。为了描述这种集合，他首先定义了“点集的极限点”，然后引进了“点集的导集”和“导集的导集”等重要概念。

这是从“唯一性”问题的探索向“点集论”研究的开端，为“点集论”的诞生奠定了重要的理论基础。
为了将“有穷集合”的元素个数的概念推广到“无穷集合”，康托尔以“一一对应”为原则，提出了“集合等价”的重要概念。第一次对各种“无穷集合”按照它们元素的“多少”进行了分类。
于是，康托尔引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成“一一对应”的任何一个集合都称为“可列集合”。
1874年，康托尔证明了“有理数集合”是“可列”的，后来他还证明了所有的“代数数”的全体构成的“集合”也是可列的。
然而不久之后，康托尔得出了一个出乎意料的结论，他发现“实数集合”是不可列的。
由于实数集合“不可列”，而“代数数集合“可列”，康托尔凭着敏锐的直觉，预言了“超越数集”的存在，而且坚信“超越数”的数量将大大地多于“代数数”。

同年，康托尔又构造了“实变函数论”中著名的“康托尔集”，给出了“测度为零”的“不可数集”的一个例子。
康托尔还巧妙地将“一条直线上的点”与“整个平面的点”一一对应起来，甚至可以将“直线”与整个“n维空间”中的点进行“一一对应”。
至此，康托尔将“无穷”的概念发挥到了极至。
“无穷概念”的提出，为数学的发展开辟了一片广阔的新天地，使“集合论”成为了“近代数学大厦”的基础。
但是其诞生之初的“不完备”性，导致了一些看似“微不足道”的问题偶尔出现，这些问题不断地日积月累。
终于，随着“罗素悖论”的提出，第三次数学危机彻底爆发了，康托尔成为了数学界各大名流的众矢之的，对他展开了猛烈的抨击，这些人当中，德国数学家“克罗内克”的言辞最为激烈，攻击时间长达10年之久。

“数学的本质就在于它的自由。”——这是康托尔的信条。他一生孤独行走在追求真理的道路上，追求着他所向往的“无穷”与自由之美，几乎是凭着他的一己之力，完成了数学关于“无穷”概念的革命。
然而，薪水微薄的康托尔，最终耗尽自己的全部心血，也无法完全解决“集合论”出现的各种问题，他那颗追求完美的心最终无法接受这一切，终于彻底地崩溃了。
然而，真理越辨越明，“集合论”经过不断地完善，其重要性最终得到了数学界的普便肯定，成为了“近代数学”牢固的基础。
著名的数学家“希尔伯特”用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

当我们在学习“集合”概念的时候，向康托尔这位勇敢的先行者致以崇高地敬意吧！
3. 康托尔的集合论为什么那么伟大？
康托尔的集合论被视为数学史上的伟大成就之一，主要体现在以下几个方面：
1. 创造性的思想：康托尔通过创造性的思考和探索，提出了集合论的基本概念和方法，创立了集合论这一新的数学分支，并使之作为现代数学中不可或缺的一部分。
2. 革命性的影响：康托尔的集合论对数学和哲学产生了革命性的影响，挑战了传统的数学观念，对20世纪的数学、逻辑学和哲学发展产生了深远的影响。
3. 解决了泛函问题：康托尔的集合论解决了泛函问题，即寻找一类不连续或间断函数最优逼近问题的方法。由此推广出的范畴论对整个现代数学产生了重要的影响。
4. 严谨性： 康托尔的集合论拓展了数学的范围，提升了数学的严谨性，发展了抽象概念和证明方法，为未来的数学发展奠定了坚实的基础。
总体来说，康托尔的集合论为现代数学提供了新的思维工具和方法，打开了数学的新的研究方向，推动了数学研究的发展。同时，它也为人类思维的进阶提供了重要启示，以证明与结构为基础的现代数学思想为人类认识世界带来了深远影响。
4. 德国数学家谁提出了第一个公理化集合论体系？
1908 年，恩斯特·策梅洛提议了第一个公理化集合论：策梅洛集合论。
策梅洛集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory），含选择公理时常简写为 ZFC，是在数学基础中最常用形式的公理化集合论。
这个公理化理论不允许构造序数；而多数“普通数学”不使用序数就被不能被开发，序数在多数集合论研究中是根本工具。
5. 集合的出现有什么数学意义？
集合在数学中具有重要的意义，它是数学中最基本的概念之一。以下是集合的一些数学意义：
1. 描述对象的方式：集合提供了一种描述和组织对象的方式。通过将相关对象放入一个集合中，我们可以更清晰地理解这些对象之间的关系。
2. 建立数学系统的基础：数学中的大部分分支，如集合论、逻辑、代数、拓扑学等，都以集合为基础。集合论作为一门独立的学科，探讨了集合之间的关系、操作和性质，从而建立了整个数学体系的基础。
3. 确定性和抽象性：集合的定义是基于确定性的，一个对象要么属于某个集合，要么不属于。这种确定性使得集合在数学推理中非常有用。此外，集合的定义也具有抽象性，使得我们可以研究和比较不同类型的对象，而不仅限于特定的元素。
4. 运算和关系：集合上可以定义各种运算和关系，如并、交、补、包含等。这些运算和关系使得我们能够进行集合间的操作和比较，进而推导出更复杂的数学结论。
5. 概率论和统计学：集合在概率论和统计学中有着重要的应用。概率可以通过集合的思想来描述事件发生的可能性，并利用集合运算求解复杂的概率问题。统计学中也使用集合来表示样本空间、事件和随机变量等。
总之，集合作为数学中最基本的概念之一，具有广泛的应用和丰富的数学意义。它不仅为建立数学体系提供了基础，还为其他分支学科的发展提供了框架和工具。
6. 小学数学为什么不从集合论学起？
基本四则运算才是基础的基础，数都不识，谈什么集合
7. 集合论的基础概念？
集合论是数学中的一个重要分支，研究集合及其性质。集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。集合论的基础概念包括空集、子集、并集、交集、补集等。
空集是不包含任何元素的集合，子集是一个集合中的元素都属于另一个集合，而并集是包含两个或多个集合中所有元素的集合。
交集是两个或多个集合中共有的元素构成的集合，而补集是指在一个全集中不属于某个集合的元素构成的集合。这些基础概念为集合论的进一步研究提供了基础。
